上极限和下极限

集合X的幂集P(X)是完备格。对于P(X)中的序列，也就是X的子集的序列，其上下极限也有用处。

若

X

n

{\displaystyle X_{n}}

是这样的序列，那么X的元素a属于

lim inf

X

n

{\displaystyle \liminf X_{n}}

，当且仅当存在自然数

n

0

{\displaystyle n_{0}}

使得对于所有

n

>

n

0

{\displaystyle n>n_{0}}

，a在

X

n

{\displaystyle X_{n}}

里。元素a属于

lim sup

X

n

{\displaystyle \limsup X_{n}}

，当且仅当对所有自然数

n

0

{\displaystyle n_{0}}

，都存在一个指数

n

>

n

0

{\displaystyle n>n_{0}}

使得a在

X

n

{\displaystyle X_{n}}

里。换句话说，

lim sup

X

n

{\displaystyle \limsup X_{n}}

包含了所有这样的元素，其中的每一个，都有无限多个n，使得它在集合

X

n

{\displaystyle X_{n}}

里；而

lim inf

X

n

{\displaystyle \liminf X_{n}}

包含了所有这样的元素，其中的每一个，都有除了有限多个外的所有n，使得它在

X

n

{\displaystyle X_{n}}

里。

以集合论的标准语言来说，一个集合序列的下确界是这些集合的可数交，也就是包含在所有集合里的最大集合：

inf

{

X

m

:

m

=

1

,

2

,

3

,

…

}

=

⋂

m

=

1

∞

X

m

{\displaystyle \inf \left\{\,X_{m}:m=1,2,3,\dots \,\right\}={\bigcap _{m=1}^{\infty }}X_{m}}

。

令

I

n

{\displaystyle I_{n}}

为自

X

n

{\displaystyle X_{n}}

起的集合的下确界。那么序列

I

n

{\displaystyle I_{n}}

非递减，因为

I

n

⊂

I

n

+

1

{\displaystyle I_{n}\subset I_{n+1}}

。所以，第1至n个下确界的并集就是第n个下确界。下极限就是这序列的极限：

lim inf

n

→

∞

X

n

=

⋃

n

=

1

∞

(

⋂

m

=

n

∞

X

m

)

{\displaystyle \liminf _{n\rightarrow \infty }X_{n}={\bigcup _{n=1}^{\infty }}\left({\bigcap _{m=n}^{\infty }}X_{m}\right)}

。

上极限可以相反方式定义。一个集合序列的上确界是包含这些集合的最小集合，也就是它们的可数并：

sup

{

X

m

:

m

=

1

,

2

,

3

,

…

}

=

⋃

m

=

1

∞

X

m

{\displaystyle \sup \left\{\,X_{m}:m=1,2,3,\dots \,\right\}={\bigcup _{m=1}^{\infty }}X_{m}}

。

上极限是这个非递增的上确界序列的可数交（其中每个上确界都包含在前一个里面）。

lim sup

n

→

∞

X

n

=

⋂

n

=

1

∞

(

⋃

m

=

n

∞

X

m

)

{\displaystyle \limsup _{n\rightarrow \infty }X_{n}={\bigcap _{n=1}^{\infty }}\left({\bigcup _{m=n}^{\infty }}X_{m}\right)}

。

例子或应用可见波莱尔－坎泰利引理，柯西-阿达马公式（Cauchy-Hadamard Formula）。